Hadj Moussa rozpoczął swoją przygodę z profesjonalnym futbolem we Francji. W 2016 roku trafił z U.S. Torcy do FC Montfermeil, skąd dwa lata później przeniósł się do akademii RC Lens. W klubie z północnej Francji systematycznie piął się w górę, a w sezonie 2021/22 występował regularnie w rezerwach Lens, rozgrywając 22 spotkania ligowe na poziomie Championnat National 2. Latem 2022 roku skrzydłowy zdecydował się na transfer do Belgii, zasilając szeregi Olympic Club Charleroi, występującego wówczas na trzecim poziomie rozgrywkowym.

Już wcześniej, jako zawodnik RC Lens, zyskał rozgłos, występując w prestiżowym towarzyskim meczu przeciwko mistrzom Francji z Lille. W swoim debiutanckim sezonie w barwach Olympic Charleroi rozegrał łącznie 33 z 38 spotkań ligowych – w pięciu przypadkach jako rezerwowy – zdobywając osiem bramek. Jego regularność i wkład w ofensywę miały istotny wpływ na wynik drużyny, która zakończyła sezon na solidnym siódmym miejscu. W czerwcu 2023 roku Hadj Moussa podpisał kontrakt z Patro Eisden Maasmechelen – zespołem, który właśnie awansował z First National do belgijskiej First Division B.

Choć nie zdążył rozegrać pełnego sezonu w nowym klubie, jego talent został szybko dostrzeżony za granicą. 1 lutego 2024 roku Vitesse Arnhem ogłosiło jego wypożyczenie do końca sezonu, a już niespełna dwa miesiące później – 3 kwietnia – Feyenoord poinformował o podpisaniu z zawodnikiem pięcioletniego kontraktu, obowiązującego od sezonu 2024/25. Belgijski klub otrzymał za niego rekordową w swojej historii opłatę transferową.

Skrzydłowy zadebiutował w barwach Feyenoordu 10 sierpnia 2024 roku, w ligowym meczu przeciwko Willem II. Niedługo później, 19 września, miał okazję po raz pierwszy wystąpić w rozgrywkach Ligi Mistrzów – w meczu fazy grupowej z Bayerem Leverkusen. Swojego premierowego gola w europejskich pucharach zdobył 6 listopada, trafiając do siatki Z Red Bull Salzburg. Końcówka roku okazała się przełomowa – w ostatnich dwóch miesiącach kalendarzowych Hadj Moussa strzelił sześć bramek, stając się jednym z kluczowych zawodników ofensywy Feyenoordu i na stałe wywalczając miejsce w wyjściowym składzie.