Bart Nieuwkoop urodził się w Bergen op Zoom, lecz dzieciństwo i młodzieńcze lata spędził w niewielkim miasteczku Tholen. To właśnie tam stawiał pierwsze kroki na boisku, reprezentując lokalny klub Tholense Boys. Jego talent szybko przyciągnął uwagę skautów z pobliskiego RBC Roosendaal, do którego dołączył w młodym wieku. Niestety, wskutek bankructwa tego klubu, jego rozwój został chwilowo zahamowany. Mimo to, mając zaledwie 11 lat, przeniósł się do renomowanej akademii Feyenoordu Rotterdam, co okazało się przełomowym momentem w jego karierze. Po kilku latach intensywnego szkolenia, Nieuwkoop zadebiutował w Eredivisie 4 października 2015 roku, w meczu przeciwko De Graafschap. Wystąpił w podstawowym składzie, zastępując kontuzjowanego Ricka Karsdorpa. Po 68 minutach gry został zmieniony przez Tonny'ego Vilhenę.
Choć początkowo pełnił rolę zmiennika bardziej doświadczonego Karsdorpa, to już w kolejnym sezonie – 2016/2017 – wykorzystał jego dłuższą nieobecność spowodowaną kontuzją i wywalczył sobie miejsce w wyjściowej jedenastce. Trener Giovanni van Bronckhorst zaufał młodemu defensorowi, który regularnie występował na prawej stronie obrony. Nieuwkoop miał również swój udział w jednym z najważniejszych momentów w historii klubu – 14 maja 2017 roku wybiegł na boisko w podstawowym składzie w decydującym o mistrzostwie meczu przeciwko Heraclesowi Almelo. Spotkanie to, rozegrane na De Kuip, zakończyło się triumfem Feyenoordu i przypieczętowało tytuł mistrza Holandii.
W kolejnych sezonach obrońca doświadczył wzlotów i upadków. Choć zdobywał kolejne trofea, takie jak Puchar Holandii i krajowy Superpuchar, z czasem zaczął tracić miejsce w składzie. W sezonie 2019/2020 został wypożyczony do Willem II, gdzie odegrał kluczową rolę i odzyskał formę. Niestety, rozgrywki zostały przedwcześnie zakończone z powodu pandemii COVID-19, a zawodnik powrócił do Feyenoordu 4 maja 2020 roku. W sezonie 2020/2021 musiał rywalizować o miejsce w składzie z Lutsharelem Geertruidą – wychowankiem klubu. Nieuwkoop przegrał tę rywalizację, a po wygaśnięciu kontraktu opuścił Rotterdam. Nowy rozdział w jego karierze rozpoczął się w Belgii, gdzie dołączył do ambitnego Union Saint-Gilloise – klubu należącego do Tony’ego Blooma, znanego również jako właściciel Brighton & Hove Albion.
Zespół ten, beniaminek belgijskiej ekstraklasy, szybko stał się rewelacją rozgrywek i jednym z głównych pretendentów do mistrzostwa. Nieuwkoop odegrał w tym sukcesie istotną rolę, prezentując wysoki poziom i zdobywając uznanie jako jeden z najlepszych prawych obrońców w Jupiler Pro League. Niespodziewanie, 9 sierpnia 2023 roku pojawiła się informacja o jego powrocie do Feyenoordu. Już dzień później oficjalnie podpisał czteroletni kontrakt z klubem, w którym debiutował jako nastolatek. Powrót okazał się udany – 4 listopada 2023 roku Nieuwkoop zdobył swojego pierwszego gola w barwach Feyenoordu w meczu przeciwko RKC Waalwijk. Kolejne dwa sezony niestety upłynęły pod znakiem poważnych problemów zdrowotnych.
Feyenoord
Feyenoord
Union SG
Willem II
Feyenoord Rotterdam
Ajax Amsterdam
PSV Eindhoven
FC Twente
AZ Alkmaar
Søren Tengstedt
Brynjólfur Willumsson
Milan Zonneveld
