Bart Nieuwkoop urodził się w Bergen op Zoom, lecz dzieciństwo i młodzieńcze lata spędził w niewielkim miasteczku Tholen. To właśnie tam stawiał pierwsze kroki na boisku, reprezentując lokalny klub Tholense Boys. Jego talent szybko przyciągnął uwagę skautów z pobliskiego RBC Roosendaal, do którego dołączył w młodym wieku. Niestety, wskutek bankructwa tego klubu, jego rozwój został chwilowo zahamowany. Mimo to, mając zaledwie 11 lat, przeniósł się do renomowanej akademii Feyenoordu Rotterdam, co okazało się przełomowym momentem w jego karierze.

Po kilku latach intensywnego szkolenia, Nieuwkoop zadebiutował w Eredivisie 4 października 2015 roku, w meczu przeciwko De Graafschap. Wystąpił w podstawowym składzie, zastępując kontuzjowanego Ricka Karsdorpa. Po 68 minutach gry został zmieniony przez Tonny'ego Vilhenę. Choć początkowo pełnił rolę zmiennika bardziej doświadczonego Karsdorpa, to już w kolejnym sezonie – 2016/2017 – wykorzystał jego dłuższą nieobecność spowodowaną kontuzją i wywalczył sobie miejsce w wyjściowej jedenastce. Trener Giovanni van Bronckhorst zaufał młodemu defensorowi, który regularnie występował na prawej stronie obrony.

Nieuwkoop miał również swój udział w jednym z najważniejszych momentów w historii klubu – 14 maja 2017 roku wybiegł na boisko w podstawowym składzie w decydującym o mistrzostwie meczu przeciwko Heraclesowi Almelo. Spotkanie to, rozegrane na De Kuip, zakończyło się triumfem Feyenoordu i przypieczętowało tytuł mistrza Holandii. W kolejnych sezonach obrońca doświadczył wzlotów i upadków. Choć zdobywał kolejne trofea, takie jak Puchar Holandii i krajowy Superpuchar, z czasem zaczął tracić miejsce w składzie.

W sezonie 2019/2020 został wypożyczony do Willem II, gdzie odegrał kluczową rolę i odzyskał formę. Niestety, rozgrywki zostały przedwcześnie zakończone z powodu pandemii COVID-19, a zawodnik powrócił do Feyenoordu 4 maja 2020 roku. W sezonie 2020/2021 musiał rywalizować o miejsce w składzie z Lutsharelem Geertruidą – wychowankiem klubu. Nieuwkoop przegrał tę rywalizację, a po wygaśnięciu kontraktu opuścił Rotterdam. Nowy rozdział w jego karierze rozpoczął się w Belgii, gdzie dołączył do ambitnego Union Saint-Gilloise – klubu należącego do Tony’ego Blooma, znanego również jako właściciel Brighton & Hove Albion.

Zespół ten, beniaminek belgijskiej ekstraklasy, szybko stał się rewelacją rozgrywek i jednym z głównych pretendentów do mistrzostwa. Nieuwkoop odegrał w tym sukcesie istotną rolę, prezentując wysoki poziom i zdobywając uznanie jako jeden z najlepszych prawych obrońców w Jupiler Pro League. Niespodziewanie, 9 sierpnia 2023 roku pojawiła się informacja o jego powrocie do Feyenoordu. Już dzień później oficjalnie podpisał czteroletni kontrakt z klubem, w którym debiutował jako nastolatek. Powrót okazał się udany – 4 listopada 2023 roku Nieuwkoop zdobył swojego pierwszego gola w barwach Feyenoordu w meczu przeciwko RKC Waalwijk.

DEBIUT W FEYENOORDZIE:  04-10-2015 De Graafschap - Feyenoord 0-0