Gonçalo Borges urodził się 29 marca 2001 roku w Lizbonie. Już jako młody chłopiec wzbudzał zainteresowanie portugalskich skautów i szybko trafił do akademii SL Benfiki. W 2015 roku zdecydował się jednak na przenosiny do rywala zza miedzy – FC Porto, gdzie kontynuował swój rozwój w juniorskich strukturach klubu. Szczególnie udany był dla niego sezon 2018/2019, w którym jako podstawowy zawodnik drużyny młodzieżowej FC Porto sięgnął po prestiżowe trofeum UEFA Youth League. W zwycięskim finale przeciwko Chelsea (3:1) Borges zapisał na swoim koncie asystę, odgrywając kluczową rolę w wygranym meczu.

Po okresie gry w drużynach młodzieżowych trafił do zespołu rezerw – FC Porto B – gdzie przez kilka sezonów rozegrał aż 104 mecze, zdobywając 17 bramek i notując 5 asyst. 15 grudnia 2021 roku zadebiutował w pierwszym zespole FC Porto. Mimo tego nie udało mu się wywalczyć stałego miejsca w wyjściowym składzie. Większość jego występów to krótsze epizody z ławki rezerwowych – także w ostatnim sezonie, który zakończył z bilansem 38 meczów, 2 bramek i 7 asyst.

Borges pojawił się także na boisku podczas Klubowych Mistrzostw Świata 2025, gdzie w fazie grupowej zaliczył występy przeciwko Interowi Miami oraz Al Ahly SC. W starciu z egipską drużyną zaliczył kolejną asystę. I wtedy był to jego ostatni mecz w barwach Smoków. Jego bilans w portugalskim klubie zamknął się na 88 spotkaniach i 2 zdobytych bramkach. 

W Feyenoordzie został zaprezentowany 20 lipca podczas Dnia Otwartego, gdy niespodziewanie wyszedł z helikoptera. W Holandii podpisał kontrakt do połowy 2029 roku.