Leo Sauer trafił do Feyenoordu latem 2022 roku na zasadzie wypożyczenia z MŠK Žilina. Już od pierwszych występów w drużynie U-21 zwrócił na siebie uwagę sztabu szkoleniowego. Dzięki dobrym występom bardzo szybko został włączony do pierwszego zespołu, a jego nieoficjalny debiut nastąpił podczas meczu towarzyskiego z belgijskim KV Oostende. Zanim jednak przeniósł się do Holandii, Sauer rozwijał swoją karierę w ojczyźnie.

Pierwsze piłkarskie kroki stawiał w barwach Slovana Bratysława, skąd w 2018 roku przeniósł się do akademii MŠK Žilina. W barwach tego klubu zadebiutował na poziomie seniorskiej piłki 27 lutego 2022 roku w meczu słowackiej 2. Ligi przeciwko FC Petržalka. W kwietniu 2023 roku Feyenoord zdecydował się na definitywny transfer utalentowanego Słowaka, oferując mu trzyletni kontrakt.

20 sierpnia 2023 roku Sauer oficjalnie zadebiutował w Eredivisie. W spotkaniu wyjazdowym przeciwko Sparcie Rotterdam wszedł na boisko w drugiej połowie i w doliczonym czasie gry zdobył bramkę, ustalając wynik meczu na 2:2. Jego dynamiczne wejście do seniorskiej piłki holenderskiej nie przeszło bez echa – już w marcu 2024 roku klub poinformował o przedłużeniu jego umowy do końca czerwca 2028 roku.

Równolegle z rozwojem kariery klubowej, Sauer zaczął także budować swoją pozycję w reprezentacji narodowej. 27 marca 2024 roku zadebiutował w dorosłej kadrze Słowacji, pojawiając się na boisku w końcówce towarzyskiego meczu z Norwegią. Miał wówczas zaledwie 18 lat i 10 dni, co uczyniło go najmłodszym debiutantem w historii słowackiej reprezentacji. Tym samym pobił rekord Františka Wysockiego, który w 1939 roku zadebiutował w wieku 18 lat, 3 miesięcy i 18 dni.

Sezon 2023/2024 z pewnością zapisze się w pamięci Sauera jako przełomowy. Oprócz ligowego debiutu i pierwszego gola w Eredivisie, młody skrzydłowy po raz pierwszy wystąpił również w rozgrywkach Ligi Mistrzów UEFA, a także związał się z klubem długoterminowym kontraktem.

Kolejny etap rozwoju przyniósł sezon 2024/2025, który Leo spędził na wypożyczeniu w NAC Breda. Tam wyrósł na jednego z kluczowych zawodników drużyny – w 31 ligowych meczach zdobył 7 bramek i zanotował 2 asysty. Po zakończeniu sezonu wrócił do Feyenoordu.