Sem Steijn postawił swoje pierwsze piłkarskie kroki w niewielkim klubie Klein Maar Dapper z Wateringen. Już jako młody chłopak wyróżniał się talentem, a jego nazwisko szybko zaczęło budzić coraz większe zainteresowanie – nie tylko na murawie. Od 2022 roku w jego rodzinnym mieście organizowany jest coroczny Sem Steijn Jeugdtoernooi – młodzieżowy turniej nazwany na jego cześć.

Po dwóch sezonach spędzonych w amatorskich strukturach, Steijn dołączył do akademii ADO Den Haag, gdzie systematycznie przechodził kolejne etapy szkolenia młodzieżowego. Latem 2018 roku, mając zaledwie 16 lat, podpisał swój pierwszy profesjonalny kontrakt z klubem z Hagi – dwuletnią umowę z opcją przedłużenia na kolejny sezon. Wkrótce potem, z powodów rodzinnych, został wypożyczony do VVV-Venlo, gdzie trenerem pierwszego zespołu był jego ojciec, Maurice Steijn. Młody pomocnik początkowo trafił do drużyny U19, ale jego talent szybko zaowocował awansem do seniorskiej kadry.

Swój debiut w dorosłym futbolu zaliczył już 25 września 2018 roku, w meczu Pucharu Holandii przeciwko Westlandii (0:3), wchodząc na boisko w końcówce spotkania. Miał wtedy zaledwie 16 lat. Niespełna trzy miesiące później zadebiutował w Eredivisie – i to na legendarnym De Kuip, w meczu wyjazdowym przeciwko Feyenoordowi – stając się tym samym najmłodszym zawodnikiem w historii VVV, który wystąpił w najwyższej klasie rozgrywkowej. 23 kwietnia 2019 roku, w starciu z sc Heerenveen, zdobył wyrównującą bramkę na 2:2, stając się zarazem najmłodszym strzelcem gola w dziejach klubu w Eredivisie.

Latem 2019 roku, podążając śladem ojca, Steijn przeniósł się na Bliski Wschód – został wypożyczony z ADO Den Haag do zespołu Al-Wahda FC ze Zjednoczonych Emiratów Arabskich. Jednak już na początku października – po zwolnieniu jego ojca ze stanowiska trenera – Sem wrócił do Holandii. Od stycznia 2020 roku ponownie był do dyspozycji sztabu szkoleniowego ADO Den Haag, z którym wkrótce przedłużył kontrakt do końca sezonu 2021/22.

W dwóch kolejnych sezonach – 2019/20 i 2020/21 – przerwanych i utrudnionych przez pandemię koronawirusa, pomocnik nie potrafił jeszcze przebić się do pierwszego składu. Przełom przyszedł dopiero w sezonie 2021/22, kiedy ADO Den Haag spadło do Eerste Divisie. W drugiej lidze Steijn zyskał status kluczowego zawodnika: wystąpił w 35 spotkaniach ligowych i zdobył aż 15 bramek, imponując skutecznością i dojrzałością na boisku.

W marcu 2022 roku ogłoszono, że po zakończeniu sezonu przeniesie się na zasadzie wolnego transferu do FC Twente. Z klubem z Enschede podpisał trzyletni kontrakt z opcją przedłużenia. W debiutanckim sezonie 2022/23 pełnił głównie rolę zmiennika, ale mimo ograniczonego czasu gry zdołał sześciokrotnie wpisać się na listę strzelców w 27 meczach ligowych.

W sezonie 2023/24, pod wodzą nowego trenera Josepha Oostinga, wywalczył miejsce w podstawowym składzie jako ofensywny pomocnik. Jego liczby były imponujące – 17 bramek w 34 meczach Eredivisie uczyniło go najlepszym strzelcem FC Twente. W uznaniu jego rosnącej roli w drużynie i znakomitej postawy na boisku, klub przedłużył z nim umowę – 24 grudnia 2024 roku Steijn podpisał nowy kontrakt obowiązujący do połowy 2028 roku, dokładnie w dniu, w którym rozegrał swój setny mecz w barwach Twente.

Sezon 2024/25 był dla niego kolejnym kamieniem milowym. Steijn wraz z Twente brał udział zarówno w eliminacjach Ligi Mistrzów, jak i w fazie ligowej Ligi Europy UEFA, gdzie prezentował wysoką formę na arenie międzynarodowej. W krajowych rozgrywkach również nie zwalniał tempa – z dorobkiem 31 bramek i 8 asyst we wszystkich rozgrywkach zakończył kampanię jako najskuteczniejszy piłkarz Eredivisie. Jego znakomita forma została doceniona podczas gali Eredivisie Awards, gdzie został uhonorowany tytułem Piłkarza Roku.

1 maja 2025 roku FC Twente i Feyenoord ogłosiły oficjalne porozumienie w sprawie jego transferu.