Urodzony w Karlsruhe w Niemczech, Wellenreuther grał dla różnych drużyn młodzieżowych, począwszy od SC Bulach, przez SVK Beiertheim i SpVgg Durlach-Aue, po Astorię Walldorf oraz Karlsruher SC. W marcu 2013 roku zostało ogłoszone, że Wellenreuther dołączy do Schalke 04, początkowo trafiając do drugiej drużyny klubu.

Wellenreuther zadebiutował w drużynie Schalke 04 II w meczu otwarcia sezonu, gdzie zachował czyste konto podczas wygranej 5-0 nad VfL Theesen U19. Później, z powodu kontuzji, rozegrał jeszcze kilka meczów, ale mimo to podpisał swój pierwszy zawodowy kontrakt, który związał go z Die Königsblauen aż do roku 2017.

W sezonie 2014-15 Wellenreuther zaczął ugruntowywać swoją pozycję jako bramkarz drużyny Schalke 04 II i rozegrał szesnaście spotkań w pierwszej połowie tamtej kampanii. W styczniu 2015 został powołany do pierwszej drużyny na obóz w Katarze. Zadebiutował w Bundeslidze 3 lutego 2015 roku przeciwko Bayernowi Monachium (1-1). Zastąpił wtedy Fabiana Giefera.

Trzy dni później wyszedł też w podstawowym składzie i zagrał na 'zero' przeciwko Borussii Mönchengladbach (3-0). Po drodze były też nawet występy w Lidze Mistrzów. Wellenreuther miał garść występów w pierwszej drużynie przez cały luty i marzec, dopóki nie stracił miejsca na korzyść Ralfa Fährmanna, który wrócił po kontuzji na resztę sezonu. 

Po tym jak jego okres wypożyczenia w RCD Mallorca dobiegł końca (grał tam regularnie), Niemiec pozostawał poza pierwszą drużyną przez większość sezonu 2016-17 i został zdegradowany do rezerw. 23 maja 2017 odszedł na stałe do Willem II. Z nowym pracodawcą podpisał dwuletni kontrakt i z miejsca stał się ważną postacią Trójkolorowych. 28 lutego 2019 pomógł klubowi dotrzeć do finału Pucharu Holandii, zatrzymując 3 z 5 rzutów karnych.

5 czerwca 2020 roku przeniósł się do belgijskiego Anderlechtu na mocy czteroletniego kontraktu. Sezon rozpoczął jako rezerwowy, ale w końcu wskoczył w miejsce poważnie kontuzjowanego kapitana Hendrika Van Crombrugge'a i utrzymał to aż do końca rozgrywek. Van Crombrugge wrócił do zdrowia wraz z następnym sezonem i odzyskał pozycję wyjściową, spychając Wellenreuthera z powrotem na ławkę.

18 sierpnia 2021 roku wrócił na wypożyczenie do Willem II, a rok później zawitał do Feyenoordu Rotterdam. W trakcie sezonu 2022-2023 wskoczył do bramki w miejsce kontuzjowanego Bijlowa. Mocno przyczynił się do mistrzostwa Holandii, zaliczając kluczowe interwencje w meczach z Ajaksem czy Spartą. W czerwcu 2023 Feyenoord poinformował, że wykupił go z Anderlechtu, a Niemiec związał się z klubem do 2025 roku. Przed sezonem 2024-2025 Niemiec przedłużył umowę z klubem. 

 DEBIUT W FEYENOORDZIE: 05-02-2023 Feyenoord - PSV Eindhoven 2-2