Linssen grał w młodzieżowych zespołach VV Veritas z Neeritter, a następnie Fortuny Sittard. W tym drugim spędził dzieciństwo, ale i zadebiutował 8 sierpnia 2008 roku w meczu przeciwko FC Emmen. W tym też sezonie rozegrał 14 meczów. Strzelił w nich cztery gole. Po jednej kampanii w Sittard, odszedł za darmo do MVV. W maju 2010, VVV-Venlo wygrało walkę o Linssena z NEC Nijmegen. Pierwszy rok w nowych barwach nie był dla niego zbyt udany, bowiem był ograniczony do ledwie dwóch spotkań w wyjściowym składzie i ośmiu występów w Eredivisie. Ale w kolejnych sezonach stawał się coraz ważniejszy dla VVV. W ciągu trzech sezonów rozegrał 78 meczów i strzelił 14 goli. W 2013 roku Bryan Linssen zamienił VVV-Venlo na Heraclesa Almelo.

W barwach Heraclieden zadebiutował 4 sierpnia 2013 roku. Dwa mecze później cieszył się z premierowego trafienia. Ale nie była to zapowiedź super formy, ponieważ do początku grudnia miał tylko dwa trafienia na koncie. Ostatecznie Linssen zaliczył 25 goli w 70 meczach podczas dwóch sezonów. Linssen odszedł do FC Groningen 30 czerwca 2015 roku za 850 000 euro. Na północy kraju podpisał kontrakt do połowy 2018 roku. Zadebiutował w przegranym 0:3 meczu o Superpuchar Holandii z PSV. Jego pierwszy sezon na Euroborg nie był imponujący. Na 39 meczów strzelił tylko pięć goli. W następnym sezonie, z dziesięcioma bramkami, był ważniejszy dla Groningen. Z 70 meczami i 16 golami odszedł do Vitesse. Skrzydłowy przeniósł się do Vitesse, zdobywcy Pucharu Holandii w rozgrywkach 2017/2018. W klubie z Arnhem zadebiutował 5 sierpnia 2017 roku przy okazji meczu o Superpuchar z mistrzem Holandii Feyenoordem.

Mecz zakończył się wynikiem 1-1 po regulaminowym czasie gry. Vitesse przegrało wówczas po rzutach karnych (4:2). 12 sierpnia tego samego roku zdobył swoją pierwszą ligową bramkę dla Vitesse, co zdarzyło się w wygranym 4:1 meczu z NAC Breda. Po odejściu kapitana Goerama Kasji i drugiego kapitana Maikela van der Werffa, Linssen został nowym liderem ekipy z Arnhem. W żółto-czarnych wystąpił 113 razy, w których strzelił 47 goli. Holender zostawał najlepszym strzelcem na Gelredome trzy sezony z rzędu, kolejno z 15, 12 i 14 bramkami. 6 lipca 2020 roku Linssen podpisał kontrakt z Feyenoordem, chociaż wcześniej obie strony dwukrotnie się nie dogadały.

DEBIUT W FEYENOORDZIE: PEC Zwolle - Feyenoord (0-2) 12 września 2020