Na szerokie wody futbolu zaczął wypływać w barwach MŠK Žilina. To właśnie grając w tym zespole, zadebiutował w słowackiej ekstraklasie 12 marca 2016 roku. W latach 2014-2018 wystąpił również w 45 meczach rezerw, zdobywając 11 bramek.

14 czerwca 2018 roku ogłoszono, że Hancko podpisał pięcioletni kontrakt z Fiorentiną. Zagrał w wielu meczach towarzyskich przedsezonowych, ale swój oficjalny debiut zanotował dopiero w czwartej kolejce przeciwko SPAL. Jego występ został dobrze przyjęty, otrzymując średnią ocenę 7,0/10 od portalu internetowego Sofascore. Niemniej jednak, finalnie rozegrał tylko pięć ligowych spotkań dla Violi.

W sezonie 2019–2021 został wypożyczony do Sparty Praga, która później go wykupiła. Znany włoski dziennikarz Gianluca Di Marzio donosi, że latem 2021 roku Sparta zdecydowała się wykupić Davida z Fiorentiny za kwotę 2,5 mln euro. Swój ligowy debiut zaliczył 11 sierpnia przeciwko Mladzie Boleslav i w tym samym meczu zdobył swoją pierwszą bramkę, wykorzystując rzut rożny Davida Moberga Karlssona w 29. minucie. Z czasem stał się liderem drużyny i gwiazdą całej ligi, którą według wielu przerósł.

Po podpisaniu czteroletniej umowy z Feyenoordem w sierpniu 2022 roku, zadebiutował pięć dni później w meczu przeciwko FC Emmen, gdzie zanotował asystę. Dzięki niej Quinten Timber zdobył pierwszą bramkę w wygranym 4:0 spotkaniu. Słowak szybko stał się kluczowym zawodnikiem drużyny Arne Slot i według wielu ekspertów był najlepszym graczem mistrzowskiego sezonu. Za swoje osiągnięcia został nawet uhonorowany tytułem Piłkarza Sezonu przez renomowany AD Sportwereld.

Hancko jest również reprezentantem swojego kraju. Obrońca otrzymał swoje pierwsze powołanie do seniorskiej kadry Słowacji 2 października 2018 roku od trenera Jána Kozáka, niedługo po swoim debiucie w Serie A. Było to na mecze z Czechami (UEFA Nations League) oraz towarzyski ze Szwecją, które odbyły się w tym samym miesiącu. Hancko pojawił się na boisku w meczu z Czechami w 80. minucie, zastępując na pozycji lewego obrońcy Tomáša Hubočana.

Zagrał także w meczu podczas gdy Štefan Tarkovič 16 października 2018 roku tymczasowo prowadził drużynę przeciwko Szwecji, po tym jak Kozák podał się do dymisji 14 października 2018 roku. W barwach narodowych, z biegiem miesięcy, zaczął notować coraz więcej występów i pojechał nawet na Euro 2024, gdzie był jednym z najlepszych zawodników swojej kadry. 

 DEBIUT W FEYENOORDZIE: 27-08-2022 Feyenoord - FC Emmen 4-0