Santiago urodził się 18 kwietnia 2001 roku w Buenos Aires w Argentynie. Mimo że przez całe życie był związany z Meksykiem, jego związki z tym krajem wynikały głównie z ojca Christiana "Chaco" Giméneza, który spędził wiele lat swojej kariery w meksykańskiej lidze. Santiago, znany również jako "el Chaquito" (pseudonim nadany przez ojca) oraz "Bebote", rozpoczął swoją karierę piłkarską w Cruz Azul, gdzie był związany od najmłodszych lat. Swój debiut w pierwszym zespole zaliczył 2 sierpnia 2017 roku, grając w meczu z UANL Tigers na Estadio Universitario, który zakończył się remisem 1:1. Na swój pierwszy występ w lidze musiał czekać aż do 28 sierpnia 2019 roku, kiedy to rozpoczął mecz przeciwko Xolos de Tijuana w wyjściowym składzie.

We wrześniu 2020 roku otrzymał pierwsze powołanie do seniorskiej reprezentacji narodowej od Gerardo Martino na obóz treningowy. W tym samym miesiącu pojawiły się informacje, że zainteresowanie jego powołaniem wyraził również trener reprezentacji Argentyny do lat 20, Fernando Batista. 27 października 2021 roku, napastnik zadebiutował w seniorskiej reprezentacji Meksyku w meczu towarzyskim przeciwko Ekwadorowi. 8 grudnia 2021 roku Giménez zdobył swoją pierwszą bramkę w meczu towarzyskim przeciwko Chile. 29 lipca 2022 roku Giménez dołączył do Feyenoordu, podpisując czteroletni kontrakt. Swojego pierwszego gola w barwach czerwono-białych strzelił 27 sierpnia, zdobywając drugą bramkę w wygranym 4:0 meczu przeciwko FC Emmen oraz asystując przy trzecim golu, którego strzelił Jacob Rasmussen.

8 września zadebiutował w Lidze Europy UEFA przeciwko Lazio w meczu fazy grupowej, wchodząc na boisko jako zmiennik w 64. minucie. Niecałe pół godziny wystarczyło mu, aby dwukrotnie pokonać bramkarza gospodarzy. W rewanżowym spotkaniu z tym samym zespołem strzelił jedyną bramkę meczu, zapewniając Feyenoordowi pierwsze miejsce w grupie oraz awans. Feyenoord zdobył mistrzostwo Eredivisie w sezonie 2022-2023, a Giménez miał na swoim koncie 15 bramek w 30 meczach, w tym drugiego gola w wygranym 3-0 meczu z Go Ahead Eagles, który to gol zapewnił Portowcom tytuł mistrzowski.

DEBIUT W FEYENOORDZIE: 13-08-2022 Feyenoord - SC Heerenveen 0-0